Funções Lipschitz e Diferenciabilidade
Proposição. Toda função diferenciável em $a$ é localmente Lipschitz em $a$, i.e.,
existem $\delta, M > 0$ tais que $|f(x) - f(a)| \leq M|x - a|$ para $|x-a| < \delta$.
Demonstração. Da definição, para $\varepsilon = 1$ existe $\delta$ com
$|f(a+h) - f(a) - Df(a)h| \leq |h|$ se $|h| < \delta$.
Então $|f(a+h) - f(a)| \leq (|Df(a)| + 1)|h|$. $\square$
Exemplo 7. $f(x,y) = \sqrt{|xy|}$ não é diferenciável em $(0,0)$ pois, embora contínua,
$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ não existe (verifique ao longo de $y = x$:
$f(h,h) = |h|$, não diferenciável).
Exemplo 8 (Resumo das relações).
$$C^1 \implies \text{Diferenciável} \implies \text{Contínua}$$
$$\text{Diferenciável} \implies \text{Parciais existem}$$
As recíprocas são todas falsas, como os exemplos anteriores mostram.