Teorema de Fubini
Este módulo trata de integrais iteradas e do teorema de Fubini, que permite reduzir
integrais múltiplas a integrais simples sucessivas.
Integrais Iteradas
Definição. Para $f: [a,b]\times[c,d] \to \mathbb{R}$, a integral iterada é
$$\int_a^b \left(\int_c^d f(x,y)\, dy\right) dx$$
se, para cada $x$ fixo, a integral interior existe e a integral exterior existe.
Exemplo 1. $f(x,y) = xy$ em $[0,1]\times[0,2]$:
$$\int_0^1\int_0^2 xy\, dy\, dx = \int_0^1 x\cdot\frac{y^2}{2}\Big|_0^2 dx = \int_0^1 2x\, dx = 1.$$
Trocando a ordem: $\int_0^2\int_0^1 xy\, dx\, dy = \int_0^2 y\cdot\frac{1}{2}\, dy = \frac{1}{2}\cdot 2 = 1$. $\checkmark$
Exemplo 2. $f(x,y) = e^{x+y}$ em $[0,1]^2$:
$$\int_0^1\int_0^1 e^{x+y}\, dy\, dx = \int_0^1 e^x(e-1)\, dx = (e-1)^2 \approx 2{,}952.$$