Teorema de Fubini
Teorema (Fubini). Seja $f: [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{R}$ Riemann-integrável.
Suponha que, para cada $x \in [a_1,b_1]$, a função $y \mapsto f(x,y)$ é integrável em $[a_2,b_2]$.
Então
$$\int_{[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]} f = \int_{a_1}^{b_1} \left(\int_{a_2}^{b_2} f(x,y)\, dy\right) dx.$$
Se também para cada $y$, $x \mapsto f(x,y)$ é integrável, então a integral iterada na outra ordem
também é igual.
Demonstração (esboço). Para funções escada, o resultado é imediato (soma finita). Para $f$ integrável,
aproxime $f$ por escada $\varphi \leq f \leq \psi$ com $\int(\psi-\varphi) < \varepsilon$.
Para cada $x$: $\int \varphi(x,\cdot) \leq \int f(x,\cdot) \leq \int \psi(x,\cdot)$.
Integrando em $x$: $\int\int \varphi \leq \int(\int f(x,y)dy)dx \leq \int\int \psi$.
Como $\int\int\psi - \int\int\varphi < \varepsilon$ e $\int_I f$ está entre os mesmos limites,
o resultado segue. $\square$