Fubini para Retângulos em $\mathbb{R}^n$
Teorema (Fubini geral). Seja $f: I_1 \times I_2 \to \mathbb{R}$ integrável,
com $I_1 \subset \mathbb{R}^p$, $I_2 \subset \mathbb{R}^q$. Se para (quase) todo $x \in I_1$
a função $y \mapsto f(x,y)$ é integrável em $I_2$, então
$$\int_{I_1 \times I_2} f = \int_{I_1}\left(\int_{I_2} f(x,y)\, dy\right) dx.$$
Exemplo 3. $\int_{[0,1]^3} xyz\, dx\, dy\, dz = \left(\int_0^1 x\, dx\right)\left(\int_0^1 y\, dy\right)\left(\int_0^1 z\, dz\right) = \frac{1}{8}$.
Exemplo 4. $\int_{[0,1]\times[0,1]} \frac{x-y}{(x+y)^3}\, dx\, dy$. Note que as iteradas dão resultados diferentes!
$\int_0^1(\int_0^1 \frac{x-y}{(x+y)^3} dy)dx = 1/2$ mas trocando a ordem dá $-1/2$.
Isso não contradiz Fubini: $f$ não é integrável em $[0,1]^2$ (a integral de $|f|$ diverge).