Integração sobre Conjuntos Jordan-mensuráveis
Definição. Para $S \subset \mathbb{R}^n$ Jordan-mensurável e $f: S \to \mathbb{R}$ limitada,
estenda $f$ por zero fora de $S$ e defina
$$\int_S f = \int_I \tilde{f},$$
onde $I \supset S$ é qualquer retângulo contendo $S$ e $\tilde{f}(x) = f(x)\mathbf{1}_S(x)$.
Exemplo 5. $\int_D (x^2+y^2)\, dA$ onde $D = {(x,y): x^2+y^2 \leq 1}$.
Usando Fubini: $\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} (x^2+y^2)\, dy\, dx$.
Em coordenadas polares (próximo módulo): $= \int_0^{2\pi}\int_0^1 r^2 \cdot r\, dr\, d\theta = 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}$.
Exemplo 6. $T = {(x,y): 0 \leq x \leq 1,\; 0 \leq y \leq x}$ (triângulo).
$$\int_T xy\, dA = \int_0^1\int_0^x xy\, dy\, dx = \int_0^1 \frac{x^3}{2}\, dx = \frac{1}{8}.$$