Troca de Ordem de Integração
Quando a região não é um retângulo, trocar a ordem exige redescrever os limites.
Exemplo 7. $\int_0^1 \int_y^1 e^{x^2}\, dx\, dy$. A integral interior não tem forma fechada!
Troque: a região é ${0 \leq y \leq x \leq 1}$.
$$= \int_0^1 \int_0^x e^{x^2}\, dy\, dx = \int_0^1 x\, e^{x^2}\, dx = \frac{e-1}{2}.$$
Exemplo 8. $\int_0^4 \int_{\sqrt{y}}^{2} \sin(x^3)\, dx\, dy$. Região: $\sqrt{y} \leq x \leq 2$, $0 \leq y \leq 4$.
Equivalente: $0 \leq x \leq 2$, $0 \leq y \leq x^2$.
$$= \int_0^2 \int_0^{x^2} \sin(x^3)\, dy\, dx = \int_0^2 x^2 \sin(x^3)\, dx = \frac{1-\cos 8}{3}.$$