Funções Inversa e Implícita
Este módulo trata dos teoremas fundamentais da análise multivariável: o teorema da função inversa
e o teorema da função implícita. Estudamos também o jacobiano, o delta de Kronecker e
coordenadas polares.
Teorema da Função Inversa
Teorema. Seja $f: U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ de classe $C^1$ com $U$ aberto.
Se $\det Jf(a) \neq 0$ para algum $a \in U$, então existem abertos $V \ni a$ e $W \ni f(a)$
tais que $f: V \to W$ é bijetora, $f^{-1}: W \to V$ é de classe $C^1$, e
$$Jf^{-1}(f(x)) = [Jf(x)]^{-1}, \quad \forall x \in V.$$
Demonstração (esboço). A ideia central é usar o teorema do ponto fixo de Banach.
Fixe $y$ próximo de $b = f(a)$ e considere $\phi_y(x) = x + [Jf(a)]^{-1}(y - f(x))$.
Note que $\phi_y(x) = x$ sse $f(x) = y$. Como $D\phi_y(x) = I - [Jf(a)]^{-1}Jf(x)$
e $Jf$ é contínua com $Jf(a)$ invertível, para $x$ próximo de $a$ temos
$|D\phi_y(x)| \leq 1/2$. Pelo TVM, $\phi_y$ é contração numa bola fechada adequada.
O ponto fixo $x = g(y)$ é a inversa local. A classe $C^1$ de $g$ segue
da fórmula $Jg(y) = [Jf(g(y))]^{-1}$ e da continuidade. $\square$
Exemplo 1. $f(x,y) = (e^x \cos y,\; e^x \sin y)$. Jacobiana:
$$Jf = \begin{pmatrix} e^x \cos y & -e^x \sin y \ e^x \sin y & e^x \cos y \end{pmatrix}, \quad \det Jf = e^{2x} \neq 0.$$
Logo $f$ é localmente invertível em todo ponto.