Delta de Kronecker e Jacobiano
Definição. O delta de Kronecker é $\delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i = j, \ 0, & i \neq j. \end{cases}$
Se $f = (f_1, \dots, f_n)$ é um sistema de funções, $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a) = \delta_{ij}$
significa que $Jf(a) = I_n$, a identidade.
Definição. O determinante jacobiano (ou simplesmente jacobiano) de $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$
é $\det Jf = \det\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)$, frequentemente denotado
$\frac{\partial(f_1,\dots,f_n)}{\partial(x_1,\dots,x_n)}$.
Exemplo 2. Coordenadas polares: $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$.
$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} = r.$$
O jacobiano é $r$, positivo para $r > 0$, confirmando inversibilidade local.
Exemplo 3. Coordenadas esféricas: $x = \rho\sin\phi\cos\theta$, $y = \rho\sin\phi\sin\theta$, $z = \rho\cos\phi$.
O jacobiano é $\rho^2 \sin\phi$.