Teorema da Função Implícita
Teorema. Seja $F: U \subset \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}^m$ de classe $C^1$, com
$F(a,b) = 0$ para $(a,b) \in U$, $a \in \mathbb{R}^n$, $b \in \mathbb{R}^m$.
Se a matriz $\frac{\partial F}{\partial y}(a,b) = \left(\frac{\partial F_i}{\partial y_j}(a,b)\right)_{m \times m}$
é invertível, então existem abertos $V \ni a$, $W \ni b$ e uma única função $g: V \to W$
de classe $C^1$ tal que $F(x, g(x)) = 0$ para todo $x \in V$, e
$$Jg(x) = -\left[\frac{\partial F}{\partial y}\right]^{-1} \frac{\partial F}{\partial x}.$$
Demonstração (esboço). Defina $\Phi: U \to \mathbb{R}^{n+m}$ por $\Phi(x,y) = (x, F(x,y))$.
Então $J\Phi(a,b) = \begin{pmatrix} I_n & 0 \ \frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial y} \end{pmatrix}$,
com $\det J\Phi = \det \frac{\partial F}{\partial y} \neq 0$.
Pelo teorema da função inversa, $\Phi$ é localmente invertível. Se $\Phi^{-1}(x,0) = (x, g(x))$,
obtemos $F(x, g(x)) = 0$. $\square$
Exemplo 4. $F(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$ (circunferência). $\frac{\partial F}{\partial y} = 2y \neq 0$
se $y \neq 0$. Logo, perto de $(0,1)$, existe $y = g(x) = \sqrt{1-x^2}$ com $g'(x) = -x/y$.