Aplicações do Teorema da Função Implícita
Exemplo 5. $F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0$ (esfera). Com $\frac{\partial F}{\partial z} = 2z \neq 0$
para $z \neq 0$, existe $z = g(x,y)$ localmente, com
$$\frac{\partial g}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} = -\frac{x}{z}, \quad \frac{\partial g}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} = -\frac{y}{z}.$$
Exemplo 6. Sistema: $F_1(x,y,u,v) = xu + yv - 1 = 0$, $F_2(x,y,u,v) = x^2u + y^2v - 2 = 0$.
Perto de $(x_0,y_0,u_0,v_0) = (1,1,1,0)$ (verifique: $1+0=1$, $1+0 \neq 2$... corrigindo:
tome $(1,-1,1,0)$: $1+0=1$ e $1+0 \neq 2$).
Seja $(1,1,1/2,1/2)$: $1/2+1/2=1$, $1/2+1/2=1 \neq 2$.
Tome $(1,2,2,-1/2)$: $2-1=1$, $2-2=0\neq 2$. Melhor: $(1,1,3/2,-1/2)$: $3/2-1/2=1$, $3/2-1/2=1\neq 2$.
Considere diretamente: $\frac{\partial(F_1,F_2)}{\partial(u,v)} = \begin{pmatrix} x & y \ x^2 & y^2 \end{pmatrix}$,
$\det = xy(y-x) \neq 0$ se $x \neq y$ e $xy \neq 0$. Nesse caso existem $u = u(x,y)$, $v = v(x,y)$.