Coordenadas Polares e Mudança de Coordenadas
A transformação $(r,\theta) \mapsto (r\cos\theta, r\sin\theta)$ é um difeomorfismo de
$(0,\infty) \times (0, 2\pi)$ sobre $\mathbb{R}^2 \setminus {(x,0) : x \geq 0}$.
O jacobiano $r > 0$ garante inversibilidade local (TFI).
Inversa: $r = \sqrt{x^2+y^2}$, $\theta = \arctan(y/x)$ (com ajuste de quadrante).
Exemplo 7. Laplaciano em coordenadas polares. Usando a regra da cadeia:
$$\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}.$$
Verificação: $f = r^n \cos(n\theta)$ é harmônica para todo $n$:
$f_{rr} = n(n-1)r^{n-2}\cos(n\theta)$, $f_r/r = nr^{n-2}\cos(n\theta)$,
$f_{\theta\theta}/r^2 = -n^2 r^{n-2}\cos(n\theta)$. Soma: $[n(n-1)+n-n^2]r^{n-2}\cos(n\theta) = 0$. $\checkmark$