Multiplicadores de Lagrange
Teorema. Seja $f: U \to \mathbb{R}$ de classe $C^1$ e $g: U \to \mathbb{R}^m$ de classe $C^1$ com
$m < n$. Se $f$ tem extremo local em $a$ sujeito ao vínculo $g(x) = 0$ e $Dg(a)$ tem posto $m$,
então existem $\lambda_1, \dots, \lambda_m \in \mathbb{R}$ tais que
$$\nabla f(a) = \lambda_1 \nabla g_1(a) + \cdots + \lambda_m \nabla g_m(a).$$
Demonstração (caso $m=1$). Pelo TFI, $g(x)=0$ define localmente uma superfície de dimensão $n-1$.
Parametrize-a por $\gamma(t)$ com $\gamma(0)=a$. Então $f(\gamma(t))$ tem extremo em $t=0$,
logo $\nabla f(a) \cdot \gamma'(0) = 0$ para todo $\gamma'(0) \in \ker Dg(a)$.
Como $\ker Dg(a)$ tem codimensão 1 (gerada por $\nabla g(a)$),
$\nabla f(a) \in (\ker Dg(a))^\perp = \text{span}{\nabla g(a)}$. $\square$
Exemplo 8. Maximizar $f(x,y) = xy$ sujeito a $g(x,y) = x+y-1 = 0$.
$\nabla f = (y,x) = \lambda(1,1)$, logo $y = x = \lambda$ e $2\lambda = 1$, $\lambda = 1/2$.
Máximo em $(1/2, 1/2)$, $f = 1/4$.
Exemplo 9. Minimizar $x^2+y^2+z^2$ sujeito a $x+y+z = 3$.
$\nabla f = (2x,2y,2z) = \lambda(1,1,1)$, logo $x=y=z$ e $3x=3$, $x=1$.
Mínimo em $(1,1,1)$, $f = 3$.