Restrição de Funções
Definição. Seja $f: A \to B$ e $S \subset A$. A restrição de $f$ a $S$ é a função $f|_S: S \to B$ definida por $f|_S(x) = f(x)$ para todo $x \in S$.
Exemplo 7. Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$. A restrição $f|_{[0,+\infty)}: [0,+\infty) \to \mathbb{R}$ é a função $x \mapsto x^2$ definida apenas para $x \geq 0$.
Exemplo 8. Seja $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $f(n) = n^2$. A restrição $f|_{\mathbb{N}}$ é a função $n \mapsto n^2$ de $\mathbb{N}$ em $\mathbb{Z}$.
Observação. A restrição e a função original podem ter propriedades diferentes. Por exemplo, $f(x) = x^2$ não é injetora em $\mathbb{R}$ (pois $f(-1) = f(1) = 1$), mas $f|_{[0,+\infty)}$ é injetora.
Resumo da lição:
- Uma função $f: A \to B$ associa a cada $a \in A$ um único $f(a) \in B$.
- O gráfico ${(a, f(a))}$ determina a função.
- A composição $g \circ f$ é associativa, mas em geral não comutativa.
- A restrição $f|_S$ é $f$ aplicada apenas a $S \subset A$.