Composição de Funções
Definição. Dadas $f: A \to B$ e $g: B \to C$, a composição $g \circ f: A \to C$ é definida por:
$$(g \circ f)(a) = g(f(a)), \quad \forall\, a \in A.$$
Exemplo 5. Sejam $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$, e $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x + 3$. Então:
- $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 3$.
- $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 3) = (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$.
Note que $g \circ f \neq f \circ g$ em geral: a composição não é comutativa.
Exemplo 6. Se $f(x) = 2x$, $g(x) = x + 1$, $h(x) = x^3$, então $(h \circ g \circ f)(x) = (2x + 1)^3$.
Proposição (Associatividade). Se $f: A \to B$, $g: B \to C$, $h: C \to D$, então $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$.
Demonstração. Para todo $a \in A$: $h \circ (g \circ f) = h((g \circ f)(a)) = h(g(f(a)))$, e $(h \circ g) \circ f = (h \circ g)(f(a)) = h(g(f(a)))$. $\square$