Teorema da Função Inversa
Teorema. Seja $f: U \to \mathbb{R}^n$ de classe $C^1$, $U \subset \mathbb{R}^n$ aberto. Se $Df(a)$ é inversível para algum $a \in U$, então existe vizinhança $V$ de $a$ tal que $f|_V$ é bijeção sobre uma vizinhança $W$ de $f(a)$, e $f^{-1}: W \to V$ é de classe $C^1$ com $(f^{-1})'(y) = [f'(f^{-1}(y))]^{-1}$.
Demonstração a partir do TFI. Defina $F(x,y) = f(x) - y$. Então $F(a, f(a)) = 0$ e $D_x F(a, f(a)) = Df(a)$ é inversível. Pelo Teorema da Função Implícita, existe $g$ com $F(g(y), y) = 0$, i.e., $f(g(y)) = y$. Logo $g = f^{-1}$.
Exemplo 3. $f(x) = e^x$: $f'(x) = e^x \neq 0$ para todo $x$. Logo $f$ é localmente inversível, com $f^{-1}(y) = \ln y$ e $(f^{-1})'(y) = 1/y = 1/f'(\ln y)$.
Exemplo 4. $f(x,y)=(e^x\cos y, e^x\sin y)$: $Df=e^x\begin{pmatrix}\cos y&-\sin y\\sin y&\cos y\end{pmatrix}$, $\det Df=e^{2x}\neq 0$. Logo $f$ é localmente inversível.