Equações Integrais
Definição. Uma equação integral é uma equação em que a incógnita aparece sob sinal de integral.
Equação integral de Volterra (2ª espécie):
$$
y(x) = g(x) + \lambda\int_a^x K(x,t)y(t)\,dt,
$$
onde $K$ é o núcleo e $\lambda$ é um parâmetro.
Teorema. Se $K$ é contínuo em $[a,b]^2$ e $g$ é contínuo em $[a,b]$, então para qualquer $\lambda\in\mathbb{R}$, a equação de Volterra tem única solução contínua.
Demonstração (esboço). O operador $T(y)(x)=g(x)+\lambda\int_a^x K(x,t)y(t)\,dt$ satisfaz $|T^n(y)-T^n(z)|\infty\le\frac{(|\lambda|M(b-a))^n}{n!}|y-z|\infty$ (onde $M=\sup|K|$). Para $n$ grande, $T^n$ é contração. Pelo resultado anterior (contração de iterada), $T$ tem ponto fixo único.
Exemplo 5. $y(x)=1+\int_0^x y(t)\,dt$. Solução: $y=e^x$ (como no PVI $y'=y$, $y(0)=1$).
Equação de Fredholm (2ª espécie):
$$
y(x) = g(x) + \lambda\int_a^b K(x,t)y(t)\,dt.
$$
Aqui os limites são fixos $a,b$. Para $|\lambda|$ suficientemente pequeno, o operador é contração e existe solução única.