Equações Diferenciais Lineares
EDO linear de ordem $n$:
$$
y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_0(x)y = b(x).
$$
Teorema (Existência global). Se $a_0,\ldots,a_{n-1},b$ são contínuas em $[a,b]$, o PVI tem única solução definida em todo $[a,b]$.
Demonstração (esboço). Reescreva como sistema $Y'=A(x)Y+B(x)$. A função $F(x,Y)=A(x)Y+B(x)$ é Lipschitz em $Y$ (com $L=|A|$) em todo compacto. Picard-Lindelöf dá existência local. Estimativas de Grönwall mostram que a solução não explode, permitindo prolongamento a todo $[a,b]$.
Exemplo 6. $y''+y=0$, $y(0)=0$, $y'(0)=1$. Solução global: $y=\sin x$.
Exemplo 7. $y'-2xy=0$: $y=Ce^{x^2}$, solução global.