Princípio de Superposição e Espaço de Soluções
Teorema. O conjunto das soluções da EDO linear homogênea $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0 y=0$ é um espaço vetorial de dimensão $n$.
Demonstração. A linearidade da EDO garante que combinações lineares de soluções são soluções. A dimensão é $n$ pois a aplicação $y\mapsto(y(x_0),y'(x_0),\ldots,y^{(n-1)}(x_0))$ é isomorfismo (pela existência e unicidade do PVI, o mapa é bijetor). $\blacksquare$
Método da variação de parâmetros. Para a EDO não-homogênea, a solução geral é $y=y_h+y_p$ onde $y_h$ é a solução geral da homogênea e $y_p$ é uma solução particular.
Exemplo 8. $y''+y=\cos x$. Homogênea: $y_h=c_1\cos x+c_2\sin x$. Particular (variação de parâmetros): $y_p=\frac{x}{2}\sin x$. Solução geral: $y=c_1\cos x+c_2\sin x+\frac{x}{2}\sin x$.