Conjuntos Finitos e Infinitos
Definição. Um conjunto $A$ é finito se $A = \emptyset$ ou se existe uma bijeção $f: {1, 2, \ldots, n} \to A$ para algum $n \in \mathbb{N}$. Nesse caso, dizemos que $A$ tem $n$ elementos e escrevemos $|A| = n$. Convenção: $|\emptyset| = 0$.
Um conjunto que não é finito é infinito.
Exemplo 9. $|{a, b, c}| = 3$. $|\mathbb{N}| = \infty$ (intuitivamente; a definição precisa será aprofundada em cardinalidade).
Proposição. Se $A$ é finito com $|A| = n$ e $f: A \to A$ é injetora, então $f$ é sobrejetora (e vice-versa).
Definição. Uma sequência em $X$ é uma função $a: \mathbb{N} \to X$. Escrevemos $(a_n)_{n \geq 1}$ ou $(a_1, a_2, a_3, \ldots)$.
Definição. Uma $n$-upla ($n$-tuple) de elementos de $X$ é uma função $a: {1, \ldots, n} \to X$. Escrevemos $(a_1, \ldots, a_n)$.
Exemplo 10. A sequência definida por $a_n = 1/n$ é a função $a: \mathbb{N} \to \mathbb{Q}$ com $a(n) = 1/n$, produzindo $(1, 1/2, 1/3, 1/4, \ldots)$.
Resumo da lição:
- Injetora: $f(a_1) = f(a_2) \Rightarrow a_1 = a_2$.
- Sobrejetora: todo elemento do contradomínio é atingido.
- Bijetora: injetora + sobrejetora. Admite inversa $f^{-1}$.
- Conjuntos finitos possuem bijeção com ${1, \ldots, n}$.
- Sequências são funções de $\mathbb{N}$ em $X$.