Composição e Injetividade/Sobrejetividade
Proposição. Sejam $f: A \to B$ e $g: B \to C$.
1. Se $f$ e $g$ são injetoras, então $g \circ f$ é injetora.
2. Se $f$ e $g$ são sobrejetoras, então $g \circ f$ é sobrejetora.
3. Se $g \circ f$ é injetora, então $f$ é injetora.
4. Se $g \circ f$ é sobrejetora, então $g$ é sobrejetora.
Demonstração de (1). Suponha $(g \circ f)(a_1) = (g \circ f)(a_2)$. Então $g(f(a_1)) = g(f(a_2))$. Como $g$ é injetora, $f(a_1) = f(a_2)$. Como $f$ é injetora, $a_1 = a_2$. $\square$
Demonstração de (3). Suponha $f(a_1) = f(a_2)$. Então $g(f(a_1)) = g(f(a_2))$, ou seja, $(g \circ f)(a_1) = (g \circ f)(a_2)$. Como $g \circ f$ é injetora, $a_1 = a_2$. Logo $f$ é injetora. $\square$
Exemplo 8. A composição de bijeções é uma bijeção, e $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$.