Funções Bijetoras e Inversas
Definição. Uma função é bijetora (ou uma bijeção) se é injetora e sobrejetora simultaneamente.
Definição. Se $f: A \to B$ é bijetora, a função inversa $f^{-1}: B \to A$ é definida por: $f^{-1}(b) = a$ se e somente se $f(a) = b$.
Proposição. $f: A \to B$ admite inversa se e somente se $f$ é bijetora. Nesse caso, $f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_A$ e $f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_B$.
Demonstração. ($\Rightarrow$) Se $f^{-1}$ existe, mostremos que $f$ é injetora: se $f(a_1) = f(a_2)$, então $a_1 = f^{-1}(f(a_1)) = f^{-1}(f(a_2)) = a_2$. Sobrejetora: dado $b \in B$, temos $f(f^{-1}(b)) = b$, logo $b \in f(A)$.
($\Leftarrow$) Se $f$ é bijetora, para cada $b \in B$, existe um único $a \in A$ com $f(a) = b$ (existência pela sobrejetividade, unicidade pela injetividade). Definimos $f^{-1}(b) = a$. $\square$
Exemplo 7. $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 3$, é bijetora, e $f^{-1}(y) = (y-3)/2$.
Definição. A função identidade em $A$ é $\mathrm{id}_A: A \to A$, $\mathrm{id}_A(a) = a$.
Proposição. Se $f: A \to B$ e $g: B \to A$ satisfazem $g \circ f = \mathrm{id}_A$ e $f \circ g = \mathrm{id}_B$, então $f$ é bijetora e $g = f^{-1}$.