A Integral Gaussiana
Teorema. $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\, dx = \sqrt{\pi}$.
Demonstração. Seja $I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\, dx$. Então
$$I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\, dx \cdot \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\, dy = \int_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}\, dA.$$
(Justificativa: como $e^{-x^2-y^2} = e^{-x^2}e^{-y^2} \geq 0$ e as integrais convergem,
Fubini/Tonelli garante a igualdade.)
Em coordenadas polares:
$$I^2 = \int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2}\, r\, dr\, d\theta = 2\pi \int_0^\infty r\, e^{-r^2}\, dr = 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi.$$
Como $I > 0$, $I = \sqrt{\pi}$. $\square$
Corolário. $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\, dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$ para $a > 0$.
Exemplo 3. A densidade gaussiana normalizada: $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-x^2/(2\sigma^2)}$ integra a 1.