Critérios de Convergência
Teste de comparação. Se $|f(x)| \leq g(x)$ para todo $x \in S$ e $\int_S g < \infty$,
então $f$ é absolutamente integrável.
Exemplo 4. $\int_{\mathbb{R}^2} \frac{\sin(x^2+y^2)}{(1+x^2+y^2)^2}\, dA$ converge pois
$\frac{|\sin(x^2+y^2)|}{(1+x^2+y^2)^2} \leq \frac{1}{(1+x^2+y^2)^2}$ e a última é integrável (Exemplo 2).
Teste em coordenadas polares. Em $\mathbb{R}^2$, $\int_{|x| > R} f$ converge se $|f(x)| \leq C/|x|^{2+\varepsilon}$.
Pois $\int_R^\infty \frac{r}{r^{2+\varepsilon}}\, dr = \int_R^\infty r^{-1-\varepsilon}\, dr < \infty$.
Mais geralmente, em $\mathbb{R}^n$: $\int_{|x|>R} |f| < \infty$ se $|f(x)| = O(|x|^{-n-\varepsilon})$.
Exemplo 5. $f(x,y) = 1/(x^2+y^2)$ para $|(x,y)| \geq 1$. Em polares: $\int_1^\infty r^{-2} \cdot r\, dr = \int_1^\infty r^{-1}\, dr = \infty$. Diverge.