Integrais Impróprias com Singularidade
Para singularidades na origem (ou em outro ponto), excluímos uma bola e tomamos o limite.
Exemplo 6. $\int_{B(0,1)} \frac{1}{|(x,y)|^\alpha}\, dA$ em $\mathbb{R}^2$.
Em polares: $= \int_0^{2\pi}\int_0^1 r^{-\alpha} \cdot r\, dr\, d\theta = 2\pi \int_0^1 r^{1-\alpha}\, dr$.
Converge sse $1 - \alpha > -1$, i.e., $\alpha < 2$.
Em $\mathbb{R}^n$: $\int_{B(0,1)} |x|^{-\alpha}\, dx$ converge sse $\alpha < n$.
Exemplo 7. $\int_{B(0,1) \subset \mathbb{R}^3} \frac{1}{|x|}\, dV$.
Em esféricas: $= \int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^1 \rho^{-1} \rho^2\sin\phi\, d\rho\, d\phi\, d\theta = 4\pi \cdot \frac{1}{2} = 2\pi$.