Aplicações
Exemplo 8 (Função Gama). $\Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s-1} e^{-t}\, dt$, $s > 0$.
Propriedade: $\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)$, $\Gamma(1) = 1$, $\Gamma(n+1) = n!$.
$\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ (pela integral gaussiana com $t = x^2$).
Exemplo 9 (Volume da bola em $\mathbb{R}^n$).
$$V_n(R) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2+1)} R^n.$$
Para $n=2$: $\pi R^2$. Para $n=3$: $\frac{4\pi R^3}{3}$. Para $n=4$: $\frac{\pi^2 R^4}{2}$.
Exemplo 10 (Convolução gaussiana). Se $g(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$, então
$$(g * g)(x) = \int_{\mathbb{R}} g(x-t)g(t)\, dt = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} e^{-x^2/4}.$$
Verificação: duas gaussianas $N(0,1)$ convolvidas dão $N(0,2)$, com variância $\sigma^2=2$.