Comprimento de Curva e Integrais Impróprias

Nesta lição final do Capítulo VI, tratamos de comprimento de arco, da constante de Euler e da teoria de integrais impróprias.

Curvas e comprimento de arco

Definição. Uma curva em $\mathbb{R}^n$ é uma função contínua $\gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^n$. Dada uma partição $P = {t_0,\ldots,t_k}$ de $[a,b]$, o comprimento poligonal é:

$$\ell(\gamma, P) = \sum_{i=1}^k |\gamma(t_i)-\gamma(t_{i-1})|.$$

O comprimento de $\gamma$ é $\ell(\gamma) = \sup_P \ell(\gamma,P)$. Se $\ell(\gamma) < \infty$, $\gamma$ é retificável.

Exemplo 1. $\gamma(t)=(t, t^2)$ em $[0,1]$. Veremos que $\ell(\gamma)=\int_0^1\sqrt{1+4t^2}\,dt$.