Fórmula integral para o comprimento
Teorema. Se $\gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^n$ tem derivada contínua ($\gamma\in C^1$), então $\gamma$ é retificável e
$$\ell(\gamma) = \int_a^b |\gamma'(t)|\,dt.$$
Demonstração (ideia). Para cada subintervalo $[t_{i-1},t_i]$, pelo TVM coordenada a coordenada:
$$\gamma(t_i)-\gamma(t_{i-1}) = \gamma'(c_i)(t_i-t_{i-1}) + o(\Delta t_i),$$
logo $|\gamma(t_i)-\gamma(t_{i-1})|\approx|\gamma'(c_i)|\,\Delta t_i$. Somando e passando ao limite, obtém-se a integral. A demonstração rigorosa usa a continuidade uniforme de $\gamma'$. $\blacksquare$
Exemplo 2. Comprimento de $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$, $t\in[0,2\pi]$:
$$\ell = \int_0^{2\pi}\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t}\,dt = \int_0^{2\pi}1\,dt = 2\pi.$$
Exemplo 3. $\gamma(t)=(t, t^2)$ em $[0,1]$: $\gamma'(t)=(1,2t)$, $|\gamma'|=\sqrt{1+4t^2}$.
$$\ell=\int_0^1\sqrt{1+4t^2}\,dt \approx 1{,}4789.$$