A constante de Euler
Definição. A constante de Euler-Mascheroni é
$$\gamma = \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n\right).$$
Proposição. Este limite existe e $\gamma\in(0,1)$.
Demonstração. Defina $a_n = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n$. Note que:
$$a_n - a_{n+1} = -\frac{1}{n+1}+\ln(n+1)-\ln n = -\frac{1}{n+1}+\int_n^{n+1}\frac{dt}{t}.$$
Como $\frac{1}{t}\leq\frac{1}{n}$ para $t\in[n,n+1]$: $\int_n^{n+1}\frac{dt}{t}\leq\frac{1}{n}$. Também $\int_n^{n+1}\frac{dt}{t}\geq\frac{1}{n+1}$. Logo $a_n-a_{n+1}\geq 0$ (a sequência é decrescente). Além disso, $a_n\geq 0$ (pois $\frac{1}{k}\geq\int_k^{k+1}\frac{dt}{t}$, somando: $\sum 1/k\geq\int_1^{n+1}\frac{dt}{t}>\ln n$). Sequência decrescente e limitada inferiormente converge. $\blacksquare$
O valor numérico é $\gamma\approx 0{,}5772$.