Integrais impróprias: definição
Definição. Se $f$ é integrável em $[a,T]$ para todo $T > a$, definimos
$$\int_a^{\infty}f(x)\,dx = \lim_{T\to\infty}\int_a^T f(x)\,dx,$$
se o limite existir. Nesse caso dizemos que a integral converge.
Analogamente, se $f$ é integrável em $[a+\varepsilon,b]$ para todo $\varepsilon>0$ mas possivelmente ilimitada perto de $a$:
$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx.$$
Exemplo 4. $\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^2} = \lim_{T\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]1^T = \lim{T\to\infty}\left(1-\frac{1}{T}\right)=1.$ Converge.
Exemplo 5. $\int_1^{\infty}\frac{dx}{x}=\lim_{T\to\infty}\ln T=+\infty.$ Diverge.