Critério de comparação e $p$-integrais
Teorema (Comparação). Se $0\leq f(x)\leq g(x)$ para $x\geq a$:
1. Se $\int_a^\infty g$ converge, então $\int_a^\infty f$ converge.
2. Se $\int_a^\infty f$ diverge, então $\int_a^\infty g$ diverge.
Demonstração de (1). $F(T)=\int_a^T f$ é crescente (pois $f\geq 0$) e $F(T)\leq\int_a^T g\leq\int_a^\infty g$. Função crescente e limitada tem limite. $\blacksquare$
$p$-integrais. $\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}$ converge se e somente se $p > 1$.
Prova: Para $p\neq 1$: $\int_1^T x^{-p}\,dx=\frac{T^{1-p}-1}{1-p}$. Se $p>1$: $1-p<0$, $T^{1-p}\to 0$, integral $=\frac{1}{p-1}$. Se $p<1$: $T^{1-p}\to\infty$, diverge.
Exemplo 6. $\int_1^\infty\frac{dx}{x^{3/2}}=\frac{1}{3/2-1}=2.$
Exemplo 7. $\int_1^\infty\frac{dx}{1+x^2}\leq\int_1^\infty\frac{dx}{x^2}=1$, logo converge. De fato: $=\arctan(\infty)-\arctan(1)=\pi/2-\pi/4=\pi/4$.