Mais exemplos e convergência absoluta
Definição. $\int_a^\infty f$ converge absolutamente se $\int_a^\infty|f|$ converge.
Teorema. Convergência absoluta implica convergência, e $\left|\int_a^\infty f\right|\leq\int_a^\infty|f|$.
Demonstração. $0\leq f+|f|\leq 2|f|$. Se $\int|f|$ converge, por comparação $\int(f+|f|)$ converge. Logo $\int f=\int(f+|f|)-\int|f|$ converge. $\blacksquare$
Exemplo 8. $\int_1^\infty\frac{\sin x}{x^2}\,dx$ converge absolutamente, pois $\left|\frac{\sin x}{x^2}\right|\leq\frac{1}{x^2}$ e $\int_1^\infty\frac{1}{x^2}<\infty$.
Exemplo 9 (integrais de segunda espécie). $\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{\varepsilon\to 0^+}[2\sqrt{x}]_\varepsilon^1=2-0=2.$ Converge.
Exemplo 10. $\int_0^1\frac{dx}{x}=\lim_{\varepsilon\to 0^+}[\ln x]_\varepsilon^1=0-(-\infty)=+\infty.$ Diverge.