Somas superior e inferior
Definição. Seja $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ limitada e $P = {x_0,\ldots,x_n}$ partição de $[a,b]$. Para cada $i=1,\ldots,n$, defina:
$$m_i = \inf{f(x): x\in[x_{i-1},x_i]}, \quad M_i = \sup{f(x): x\in[x_{i-1},x_i]}.$$
A soma inferior e a soma superior de $f$ relativas a $P$ são:
$$L(f,P) = \sum_{i=1}^n m_i\,(x_i - x_{i-1}), \quad U(f,P) = \sum_{i=1}^n M_i\,(x_i - x_{i-1}).$$
Claramente $L(f,P) \leq U(f,P)$.
Exemplo 3. $f(x) = c$ (constante) em $[a,b]$. Então $m_i = M_i = c$ para todo $i$, logo:
$$L(f,P) = U(f,P) = c(b-a).$$