Propriedade fundamental dos refinamentos
Lema. Se $Q$ é refinamento de $P$, então $L(f,P) \leq L(f,Q)$ e $U(f,Q) \leq U(f,P)$.
Demonstração (esboço). Basta verificar para a adição de um único ponto $x^\in(x_{i-1},x_i)$. Os novos ínfimos satisfazem $\inf_{[x_{i-1},x^]}f \geq m_i$ e $\inf_{[x^*,x_i]}f \geq m_i$, logo a contribuição não diminui. Analogamente para o supremo. $\blacksquare$
Corolário. Para quaisquer partições $P,Q$: $L(f,P) \leq U(f,Q)$.
Prova: $L(f,P)\leq L(f,P\cup Q)\leq U(f,P\cup Q)\leq U(f,Q)$.