A integral de Riemann
Definição. Seja $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ limitada. Definimos a integral inferior e a integral superior:
$$\underline{\int_a^b}f = \sup_P L(f,P), \quad \overline{\int_a^b}f = \inf_P U(f,P).$$
Pelo corolário acima, $\underline{\int}\leq\overline{\int}$. Dizemos que $f$ é integrável (Riemann) em $[a,b]$ se
$$\underline{\int_a^b}f = \overline{\int_a^b}f,$$
e nesse caso denotamos o valor comum por $\int_a^b f(x)\,dx$ (ou $\int_a^b f$).
Critério de integrabilidade. $f$ é integrável se e somente se para todo $\varepsilon > 0$ existe partição $P$ com $U(f,P) - L(f,P) < \varepsilon$.