Exemplos fundamentais
Exemplo 4. $f(x) = c$ em $[a,b]$: já vimos $L(f,P) = U(f,P) = c(b-a)$ para toda $P$, logo $\int_a^b c\,dx = c(b-a)$.
Exemplo 5. $f(x) = x$ em $[0,1]$. Partição uniforme $P_n$: $x_k = k/n$.
$$L(f,P_n) = \sum_{k=1}^n \frac{k-1}{n}\cdot\frac{1}{n} = \frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^{n-1}k = \frac{(n-1)n}{2n^2} = \frac{n-1}{2n}.$$
$$U(f,P_n) = \sum_{k=1}^n \frac{k}{n}\cdot\frac{1}{n} = \frac{n+1}{2n}.$$
$U - L = 1/n \to 0$, logo $f$ é integrável e $\int_0^1 x\,dx = \lim \frac{n-1}{2n} = 1/2$.