A função de Dirichlet: um exemplo não-integrável
Exemplo 6. Seja $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ a função de Dirichlet: $f(x) = 1$ se $x\in\mathbb{Q}$, $f(x) = 0$ se $x\notin\mathbb{Q}$.
Para qualquer partição $P$, todo subintervalo $[x_{i-1},x_i]$ contém racionais e irracionais, logo $m_i = 0$ e $M_i = 1$. Portanto:
$$L(f,P) = 0, \quad U(f,P) = 1$$
para toda $P$. Como $\underline{\int} = 0 \neq 1 = \overline{\int}$, $f$ não é integrável (Riemann).
Interpretação. A integral de Riemann exige certa "regularidade" da função. A função de Dirichlet oscila demasiadamente.