Somas de Riemann e Integrabilidade
Definição. Para $f: I \to \mathbb{R}$ limitada e $P$ partição de $I$, defina para cada sub-retângulo $J$:
$$m_J = \inf_{x \in J} f(x), \quad M_J = \sup_{x \in J} f(x), \quad \text{vol}(J) = \prod_{k=1}^n (t_{i_k}^{(k)} - t_{i_k-1}^{(k)}).$$
A soma inferior e a soma superior são
$$s(f,P) = \sum_J m_J \cdot \text{vol}(J), \qquad S(f,P) = \sum_J M_J \cdot \text{vol}(J).$$
Definição. $f$ é Riemann-integrável em $I$ se $\sup_P s(f,P) = \inf_P S(f,P)$, e
este valor comum é $\int_I f$.
Proposição. $f$ é integrável sse para todo $\varepsilon > 0$ existe $P$ com $S(f,P) - s(f,P) < \varepsilon$.
Exemplo 2. $f(x,y) = 1$ em $I = [0,a]\times[0,b]$. Para qualquer $P$, $m_J = M_J = 1$, logo
$s = S = \sum_J \text{vol}(J) = ab$. Portanto $\int_I 1 = ab$.
Exemplo 3. $f(x,y) = x + y$ em $[0,1]^2$, partição uniforme $n \times n$.
$S(f,P) \to \int_0^1\int_0^1 (x+y)\,dx\,dy = 1$ (calcule!).