Funções Escada e Volume
Definição. $\varphi: I \to \mathbb{R}$ é função escada se existe partição $P$ tal que $\varphi$
é constante em cada sub-retângulo aberto de $P$. Para $\varphi = c_J$ em $\mathring{J}$:
$$\int_I \varphi = \sum_J c_J \cdot \text{vol}(J).$$
Proposição. $f$ é integrável sse para todo $\varepsilon > 0$ existem escada $\varphi \leq f \leq \psi$ com
$\int_I (\psi - \varphi) < \varepsilon$.
Definição. O volume $n$-dimensional de um retângulo $[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]$ é
$v(I) = \prod_{i=1}^n (b_i - a_i)$.
Exemplo 4. O volume do cubo $[0,2]^3$ é $2^3 = 8$. O volume de $[1,3]\times[0,1]\times[2,5]$ é $2\cdot 1 \cdot 3 = 6$.