Medida de Jordan
Definição. Seja $S \subset \mathbb{R}^n$ limitado. A medida exterior de Jordan é
$$\overline{m}(S) = \inf\left{\sum_{k=1}^N v(I_k) : S \subset \bigcup_{k=1}^N I_k, \text{ retângulos } I_k\right}.$$
A medida interior de Jordan é
$$\underline{m}(S) = \sup\left{\sum_{k=1}^N v(I_k) : \bigcup_{k=1}^N I_k \subset S, \text{ retângulos disjuntos } I_k\right}.$$
$S$ é Jordan-mensurável se $\underline{m}(S) = \overline{m}(S)$, e $m(S)$ denota o valor comum.
Proposição. $S$ é Jordan-mensurável sse $\mathbf{1}_S$ (função característica) é Riemann-integrável,
e nesse caso $m(S) = \int \mathbf{1}_S$.
Proposição. $S$ é Jordan-mensurável sse $m(\partial S) = 0$ (a fronteira tem medida de Jordan zero).
Exemplo 5. O disco $D = {(x,y): x^2+y^2 \leq 1}$ é Jordan-mensurável com $m(D) = \pi$.
(Fronteira é $S^1$, com medida de Jordan zero.)
Exemplo 6. $\mathbb{Q}^2 \cap [0,1]^2$ não é Jordan-mensurável:
$\underline{m} = 0$ (todo retângulo contido é vazio) mas $\overline{m} = 1$.