Caracterização Sequencial de Limites
Teorema. $\lim_{x\to p}f(x)=L$ se e somente se, para toda sequência $(x_n)$ em $S\setminus{p}$ com $x_n\to p$, temos $f(x_n)\to L$.
Demonstração. Análoga à da caracterização sequencial de continuidade. $\square$
Corolário. $f$ é contínua em $p\in S$ se e somente se $p$ não é ponto de acumulação de $S$, ou $\lim_{x\to p}f(x) = f(p)$.
Exemplo 4. Defina $f(x)=(x^2-1)/(x-1)$ para $x\neq 1$. Então $f(x)=x+1$ para $x\neq 1$, logo $\lim_{x\to 1}f(x)=2$.
Exemplo 5. $f(x)=x\sin(1/x)$ para $x\neq 0$. $\lim_{x\to 0}f(x)=0$ pois $|x\sin(1/x)|\le|x|\to 0$.
Exemplo 6. $\lim_{x\to +\infty}1/x = 0$. (Aqui usamos a convenção: $\lim_{x\to+\infty}$ significa para $x$ em $(a,+\infty)$ e $x$ crescendo sem limite.)