Álgebra de Limites
Teorema. Se $\lim_{x\to p}f(x)=L$ e $\lim_{x\to p}g(x)=M$ (com $f,g\colon S\to\mathbb{R}$), então:
1. $\lim_{x\to p}(f+g)(x) = L+M$.
2. $\lim_{x\to p}(f\cdot g)(x) = L\cdot M$.
3. Se $M\neq 0$, $\lim_{x\to p}(f/g)(x) = L/M$.
Demonstração. Segue da caracterização sequencial e da álgebra de limites de sequências. $\square$
Exemplo 7. $\lim_{x\to 3}\frac{x^2+x}{2x-1} = \frac{9+3}{6-1} = \frac{12}{5}$ (pois numerador e denominador são contínuos e o denominador é $\neq 0$ em $x=3$).
Exemplo 8. $\lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1} = \lim_{x\to 1}(x^2+x+1) = 3$.
Exemplo 9. $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}$. Usando $1-\cos x = 2\sin^2(x/2)$:
$$\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2 \to \frac{1}{2}.$$