Relação entre Limite e Continuidade
Proposição. $f\colon S\to F$ é contínua em $p$ (ponto de acumulação de $S$, com $p\in S$) se e somente se $\lim_{x\to p}f(x) = f(p)$.
Isto dá uma forma prática de verificar continuidade: calcular o limite e comparar com o valor da função.
Exemplo 10. $f(x) = \begin{cases}x^2,&x\neq 0\1,&x=0\end{cases}$. Temos $\lim_{x\to 0}f(x) = 0 \neq 1 = f(0)$, logo $f$ é descontínua em $0$.
Exemplo 11. $g(x) = \begin{cases}x\sin(1/x),&x\neq 0\0,&x=0\end{cases}$. Temos $\lim_{x\to 0}g(x) = 0 = g(0)$, logo $g$ é contínua em $0$.
Exemplo 12. Se $\lim_{x\to p}f(x)=L$ e $f$ não está definida em $p$, podemos estender $f$ definindo $f(p)=L$ para obter uma função contínua em $p$. Esta é a extensão contínua de $f$.