Mudança de Variáveis
Neste módulo estudamos a fórmula de mudança de variáveis para integrais múltiplas,
partições da unidade e aplicações a coordenadas polares, cilíndricas e esféricas.
Fórmula de Mudança de Variáveis
Teorema. Seja $\Phi: U \to V$ um difeomorfismo $C^1$ entre abertos de $\mathbb{R}^n$,
e $f: V \to \mathbb{R}$ integrável. Então
$$\int_V f(y)\, dy = \int_U f(\Phi(x)) \, |\det J\Phi(x)|\, dx.$$
Demonstração (esboço — seguindo Rosenlicht). O argumento procede em etapas:
(1) Prova para transformações lineares $\Phi(x) = Ax$: $|\det A|$ é o fator de escala.
(2) Prova local usando o TFI e partição da unidade.
(3) Para cada $a \in U$, $\Phi$ é bem aproximada por $\Phi(a) + J\Phi(a)(x-a)$ perto de $a$.
Retângulos pequenos são mapeados em conjuntos cujo volume é $\approx |\det J\Phi(a)| \cdot \text{vol}(R)$.
(4) Somando sobre a partição e refinando, obtém-se a fórmula. $\square$
Exemplo 1. Transformação afim: $\Phi(u,v) = (2u+v,\; u-v)$. $\det J\Phi = -3$, $|\det J\Phi| = 3$.
Se $D' = \Phi(D)$, então $\text{Área}(D') = 3 \cdot \text{Área}(D)$.