Partição da Unidade
Definição. Seja ${U_\alpha}$ cobertura aberta de um compacto $K \subset \mathbb{R}^n$.
Uma partição da unidade subordinada a ${U_\alpha}$ é uma família finita de funções
$\phi_1, \dots, \phi_N \in C^\infty$ com:
- $0 \leq \phi_i \leq 1$,
- $\text{supp}(\phi_i) \subset U_{\alpha(i)}$,
- $\sum_{i=1}^N \phi_i(x) = 1$ para todo $x \in K$.
Utilidade. Permite decompor $\int_K f = \sum_i \int f\phi_i$ e calcular cada peça
num sistema de coordenadas conveniente.
Exemplo 2. Para provar a fórmula de mudança de variáveis globalmente,
cubra $U$ por abertos onde $\Phi$ é bem comportada, tome uma partição da unidade ${\phi_i}$
e aplique: $\int_V f = \sum_i \int_V f\phi_i = \sum_i \int_U (f\phi_i)(\Phi)|\det J\Phi| = \int_U f(\Phi)|\det J\Phi|$.