Coordenadas Polares
Transformação: $\Phi(r,\theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$, jacobiano $|\det J\Phi| = r$.
$$\int_D f(x,y)\, dx\, dy = \int f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\, dr\, d\theta.$$
Exemplo 3. Área do disco de raio $R$:
$$\int_0^{2\pi}\int_0^R r\, dr\, d\theta = 2\pi \cdot \frac{R^2}{2} = \pi R^2.$$
Exemplo 4. $\int\int_{x^2+y^2 \leq 1} e^{-(x^2+y^2)}\, dA = \int_0^{2\pi}\int_0^1 e^{-r^2} r\, dr\, d\theta = 2\pi \cdot \frac{1-e^{-1}}{2} = \pi(1-e^{-1})$.