Coordenadas Cilíndricas e Esféricas
Cilíndricas: $(r,\theta,z) \mapsto (r\cos\theta, r\sin\theta, z)$, jacobiano $r$.
Esféricas: $(\rho,\phi,\theta) \mapsto (\rho\sin\phi\cos\theta, \rho\sin\phi\sin\theta, \rho\cos\phi)$,
jacobiano $\rho^2\sin\phi$.
Exemplo 5. Volume da esfera de raio $R$:
$$V = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^R \rho^2\sin\phi\, d\rho\, d\phi\, d\theta = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{R^3}{3} = \frac{4\pi R^3}{3}.$$
Exemplo 6. $\int\int\int_{x^2+y^2+z^2 \leq 1} (x^2+y^2+z^2)\, dV$.
Em esféricas: $= \int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^1 \rho^2 \cdot \rho^2\sin\phi\, d\rho\, d\phi\, d\theta = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4\pi}{5}$.
Exemplo 7 (Elipse). $\int\int_{x^2/a^2+y^2/b^2 \leq 1} dA$. Substituição $x = au$, $y = bv$, jacobiano $ab$.
$= ab \int\int_{u^2+v^2 \leq 1} du\, dv = \pi ab$.