Exemplos Adicionais
Exemplo 8. $\int\int_D \sqrt{x^2+y^2}\, dA$ com $D = {1 \leq x^2+y^2 \leq 4}$.
Em polares: $\int_0^{2\pi}\int_1^2 r \cdot r\, dr\, d\theta = 2\pi \cdot \frac{r^3}{3}\Big|_1^2 = 2\pi \cdot \frac{7}{3} = \frac{14\pi}{3}$.
Exemplo 9. Calcular $\int_0^1 \int_0^1 (x^2+y^2)\, dx\, dy$ por transformação $u = x+y$, $v = x-y$.
Então $x = (u+v)/2$, $y = (u-v)/2$, jacobiano $= |{-1/2}| = 1/2$... Mas é mais simples calcular diretamente:
$= \int_0^1(1/3 + y^2)\, dy = 1/3 + 1/3 = 2/3$.