Famílias Indexadas
Quando precisamos considerar uniões e interseções de muitos conjuntos ao mesmo tempo, usamos famílias indexadas.
Definição. Seja $I$ um conjunto (o conjunto de índices). Uma família de conjuntos indexada por $I$ é uma função que a cada $\alpha \in I$ associa um conjunto $A_\alpha$. Escrevemos ${A_\alpha}_{\alpha \in I}$.
Definição. Para uma família ${A_\alpha}{\alpha \in I}$:
$$\bigcup{\alpha \in I} A_\alpha = {x : \exists\, \alpha \in I,\; x \in A_\alpha}, \qquad \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha = {x : \forall\, \alpha \in I,\; x \in A_\alpha}.$$
Exemplo 6. Para cada $n \in \mathbb{N}$, seja $A_n = [0, 1/n]$. Então:
$$\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = [0, 1], \qquad \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n = {0}.$$
Justificativa. Para a união: se $x \in [0,1]$, então $x \in [0, 1/1] = A_1$. Para a interseção: se $x > 0$, pela propriedade arquimediana existe $n$ com $1/n < x$, logo $x \notin A_n$. Resta $x = 0$, que pertence a todo $A_n$.
Exemplo 7. Sejam $B_n = (-1/n, 1/n)$ para $n \in \mathbb{N}$. Então $\bigcap_{n=1}^{\infty} B_n = {0}$.
Leis de De Morgan generalizadas:
$$\left(\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha\right)^c = \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha^c, \qquad \left(\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha\right)^c = \bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha^c.$$