Produto Cartesiano e Pares Ordenados
Definição. O par ordenado $(a, b)$ é definido de tal modo que $(a, b) = (c, d)$ se e somente se $a = c$ e $b = d$. (A construção formal de Kuratowski define $(a,b) = {{a}, {a,b}}$.)
Definição. O produto cartesiano de $A$ e $B$ é:
$$A \times B = {(a, b) : a \in A,\; b \in B}.$$
Exemplo 8. Se $A = {1, 2}$ e $B = {a, b, c}$, então
$$A \times B = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}.$$
Note que $|A \times B| = |A| \cdot |B| = 2 \cdot 3 = 6$.
Exemplo 9. $\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2$ é o plano cartesiano.
Exemplo 10. $A \times \emptyset = \emptyset$ para qualquer $A$, pois não existe par $(a, b)$ com $b \in \emptyset$.
Propriedade. $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$.
Demonstração. $(a, x) \in A \times (B \cup C)$ sse $a \in A$ e $x \in B \cup C$ sse $a \in A$ e ($x \in B$ ou $x \in C$) sse $(a,x) \in A \times B$ ou $(a,x) \in A \times C$ sse $(a,x) \in (A \times B) \cup (A \times C)$. $\square$
Resumo da lição:
- União ($\cup$), interseção ($\cap$), complemento ($A^c$), diferença ($A \setminus B$).
- Leis de De Morgan: $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ e $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$.
- Famílias indexadas generalizam uniões e interseções para coleções arbitrárias.
- O produto cartesiano $A \times B$ é o conjunto de todos os pares ordenados.