Equação Integral Equivalente
Proposição. O PVI $y' = f(x,y)$, $y(x_0) = y_0$ é equivalente à equação integral
$$
y(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t, y(t))\, dt.
$$
Demonstração. ($\Rightarrow$) Se $y$ é solução do PVI, integrando $y' = f(x,y)$ de $x_0$ a $x$ e usando $y(x_0) = y_0$, obtemos a equação integral. ($\Leftarrow$) Se $y$ satisfaz a equação integral, derivando ambos os lados (TFC): $y'(x) = f(x, y(x))$ e $y(x_0) = y_0$. $\blacksquare$
Esta reformulação permite aplicar o Teorema do Ponto Fixo de Banach ao operador de Picard.